线性空间是某一类事物从量方面的一个数学抽象，线性变换则是反映线性空间元素之间最基本的线性函数关系。

1. 线性空间

1.1 线性空间的概念

定义 1.1 设V是一个以 α，β，γ，…为元素的非空集合，F是一个数域。在其中定义两种运算，一种叫加法：∀α，β∈V，α+β∈V；另一种叫数量乘法：∀k∈F，α∈V，kα∈V，并且满足下面八条运算法则：
（1）加法交换律：α+β=β+α；
（2）加法结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)；
（3）数乘结合律：(kl)α=k(lα)；
（4）数量分配律：(k+l)α=kα+lα；
（5）元素分配律：k(α+β)=kα+kβ；
（6）V中存在零元素：∃$α_0$∈V，∀α∈V，α+$α_0$=α，记 $α_0$=0；
（7）负元素存在：∀α∈V，∃β∈V，使 α+β=0，记 β=-α；
（8）存在1 ∈F，1·α=α；
则称V为数域F上的线性空间。V中元素成为向量。F为实（复）数域时，称V是实（复）线性空间。

定理 1.1 线性空间V具有如下性质：
（1）V中的零元素唯一；
（2）V中任意元素的负元素唯一；
（3）设0为数零，0为V中零向量，则

0·α=0；
k·0=0，k∈F；
若k·α=0，则一定有k=0或α=0；
(-1)α=-α。

举例：

矩阵空间： $ V=F^{m×n}={A=(a_{ij})_{m×n} | a_{ij}∈F} $
多项式空间： ${P_{\rm{n}}}[x] = \{ \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{a_i}{x^i}|} {a_i} \in R\} $
注意：次数等于n-1的多项式集合不是线性空间，因为加法不封闭。

1.2 线性空间的基与维数

定义 1.2 设V是线性空间，若存在一组线性无关的向量 $α_1$，$α_2$，…，$α_{n}$，使空间中任意向量可由它们线性表示，则称向量组{ $α_1$，$α_2$，…，$α_{n}$}为V的一组基。基所含向量个数为V的维数，记为dimV=n，n≤+∞。

1.3 坐标

1.4 基变换与坐标变换

1.5 子空间

1.5.1 子空间概念

定义 1.5 设 ${V_n}(F)$ 为线性空间，W是V的非空子集合。若W的元素关于V中加法与数乘向量运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间。

定理 1.5 设W是线性空间 ${V_n}(F)$ 的非空子集合，则W是 ${V_n}(F)$ 的子空间的充要条件是：

若 $\alpha ,\beta \in W$ ，则 $\alpha + \beta \in W$ ；
若 $\alpha \in W$ ， $k \in F$ ，则 $k\alpha \in W$ 。

证明非空子集合是否为子空间，仅需使用定理1.5即可。
由此可证得，线性空间 ${V_n}(F)$ 中的一组向量 ${\alpha _1},{\alpha _2},....,{\alpha _m}$ 所构成的一切线性组合的集合是V的一个子空间，即
$$L\{ {\alpha _1},{\alpha _2},....,{\alpha _m}\} = \{ \alpha |\alpha = \sum\limits_{i = 1}^m {{k_i}{\alpha _i},} {k_i} \in F\} $$
若 ${\alpha _1},{\alpha _2},....,{\alpha _n}$ 是V的一组基，则 ${V_n}(F)$ 可表示为
$${V_n}(F) = L\{ {\alpha _1},{\alpha _2},....,{\alpha _m}\} $$
对于矩阵 $A \in {F^{m{\rm{ \times n}}}}$ ，则有
零空间： $N(A) = \{ X|AX = \overrightarrow 0 \} \subseteq {F^n},$
列空间： $R(A) = L\{ {A_1},{A_2},...,{A_n}\} \subseteq {F^n}，$

1.5.2 交空间、和空间

定理 1.6 设 ${W_1}$ ， ${W_2}$ 是线性空间V的子空间，则有

${W_1}$ 与 ${W_2}$ 的交集 ${W_1} \cap {W_2} = { \alpha |\alpha \in {W_1}\& \alpha \in {W_2}} $ 是V的子空间，称为 ${W_1}$ 与 ${W_2}$ 的交空间；
${W_1}$ 与 ${W_2}$ 的和
${W_1} + {W_2} = \{ \alpha |\alpha = {\alpha _1} + {\alpha _2},{\alpha _1} \in {W_1},{\alpha _2} \in {W_2}\}$ 是V的子空间，成为 ${W_1}$ 与 ${W_2}$ 的和空间。

一般地，若 ${W_1} = L\{ {\alpha _1},{\alpha _2},....,{\alpha _s}\} $， ${W_2} = L\{ {\beta _1},{\beta _2},....,{\beta _r}\} $ ，则有
$${W_1} + {W_2} = L\{ {\alpha _1},{\alpha _2},....,{\alpha _s},{\beta _1},{\beta _2},....,{\beta _r}\} $$ 。
$${W_1} \cap {W_2} \subseteq {W_i} \subseteq {W_1} + {W_2} \subseteq V$$
$$\dim ({W_1} \cap {W_2}) \le \dim ({W_i}) \le \dim ({W_1} + {W_2}) \le \dim (V)$$

1.5.3 维数定理

定理 1.7（维数定理）设 ${W_1}$ 和 ${W_2}$ 是线性空间V的子空间，则有如下维数公式：

$\dim {W_1} + \dim {W_2} = \dim ({W_1} + {W_2}) + \dim ({W_1} \cap {W_2})$

证明思路：基扩充方法（从 ${W_1} \cap {W_2}$ 的基出发）

1.5.4 子空间的直和

定义 1.6 设 ${W_1}$ ， ${W_2}$ 是线性空间V的子空间， $W = {W_1} + {W_2}$ ，如果 ${W_1} \cap {W_2} = { \overrightarrow 0 } $ ，则称W是 ${W_1}$ 与 ${W_2}$ 的直和子空间，记为

$W = {W_1} \oplus {W_2}$ 。

定理 1.8

2. 内积空间

2.1 欧氏空间与酉空间

定义 1.7 对数域F上的n维线性空间 ${V_n}(F)$ ，定义一个从 ${V_n}(F)$ 中向量到数域F的二元运算，记为 $(\alpha ,\beta )$ ，即 $(\alpha ,\beta ):{V_n}(F) \to F $

3. 线性变换

$R_z=\begin{bmatrix}\cos\sigma_3&\sin\sigma_3&0\\ -\sin\sigma_3&\cos\sigma_3&0\\0&0&1\end{bmatrix}$